「先生！数学問題がありました。」

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なんとなく、今までにコメントをくださったことのあるRyuichiXPさんのブログ(http://d.hatena.ne.jp/RyuichiXP/)を訪問したところ、数学の問題がありました。ほぉほぉ。なるほど。

正三角形ABCにおいてBC,CA,ABをm:nに内分する点をそれぞれP,Q,Rとします。又APとBQの交点をS。BQとCRの交点をT。CRとAPの交点をUとします。mとnが等しく無い場合、三角形STUは正三角形になることを示して下さい。

大昔にやった証明の問題じゃないですか。出来るかな？ってことで、ちょっとやってみました。

△ABCは正三角形なので、辺AB=辺BC=辺CA
同様に△ABCは正三角形なので、角ABP＝角BCQ=60度
また、辺BPは辺BCをm:nに分割した変なので、BQ=BC×m/(m+n)となる。
同様に辺CQは CQ=CA×m/(m+n) = BC×m/(m+n) = BQとなる。
したがって、△ABSと△BCQにおいて
辺AB=辺BC、辺BP=辺CQ、角ABP=角BCQにより二辺挟角の定理より合同となる。

上記の△ABS合同△BCQより
角SAB = 角QBC

次に△ABSにおいて角SABと角ABSの和は以下の通りとなる。
角SAB + 角ABS = 角QBC + 角ABS = 角ABC = 60度
三角形ABSの外角USTは「三角形の外角は他のふたつの内角の和に等しい」
ため角UST=60度となる。

同様に角STU = 角TSU =60度となり、
△STUは三つの角がすべて60度であるため、正三角形である。

ちなみに、m:nが1:1の場合は三角形において角と対辺を二等分する点を結んだ線が重なる点は重心となるため、三角形を構成せず、点となります。

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